Vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Vektor digambarkan dengan ruas garis yang ujungnya berupa panah untuk menunjukkan arah.
1. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Perhatikan gambar berikut!
Vektor a jika dinyatakan dalam kombinasi vektor satuan adalah....
a. 3i + 5j
b. 5i + 3j
c. 3i - 5j
d. 5i - 3j
Pembahasan:
Arah vektor a adalah 3 satuan ke kanan dan 5 satuan ke bawah.
Arah horisontal untuk i, ke kanan bernilai positif = 3i
Arah vertikal untuk j, ke bawah bernilai negatif = -5j
3i - 5j
Jawaban : c
2. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Perhatikan gambar balok berikut!
Vektor yang mewakili CB + FE + BF adalah....
a. CF
b. FC
c. EC
d. CE
Pembahasan:
CB + FE + BF
= CB + BF + FE
= CF + FE
= CE
Jawaban : d
3. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Perhatikan segienam OABCDE berikut!
Jika OA = ū dan OE = ⊽, maka OA + OB + OC + OD + OE = .....
a. 3ū + 3⊽
b. 4ū + 2⊽
c. 4ū + 4⊽
d. 6ū + 6⊽
Pembahasan :
Perhatikan gambar
Penguraian vektor OB = OA + AB = ū + (ū + ⊽) = 2ū + ⊽Penguraian vektor OC = OA + AB + BC = ū + (ū + ⊽) + ⊽ = 2ū + 2⊽
Penguraian vektor OD = OE + ED = ⊽ + (⊽ + ū) = 2⊽ + ū
Maka, OA + OB + OC + OD + OE
= ū + 2ū + ⊽ + 2ū + 2⊽ + 2⊽ + ū + ⊽
= 6ū + 6⊽
Jawaban : d
4. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Perhatikan jajargenjang berikut!
Jika ū mewakili vektor AB, ⊽ mewakili vektor BC, dan DE : EC = 2 : 1. Maka vektor OE dinyatakan dalam ū dan ⊽ adalah....a. ⅙ ū + ⅙ ⊽
b. ⅙ū + ½⊽
c. ½ū + ½⊽
d. ⅓ū + ⅓⊽
Pembahasan :
OE = OC + CE
= ½ AC + ⅓ CD
= ½ (AB + BC) + ⅓ (-ū)
= ½ū + ½⊽ - ⅓ ū
= ⅙ū + ½⊽
Jawaban : b
5. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Perhatikan jajargenjang ABCD berikut!
P adalah titik tengah AB dan Q membagi DP dengan perbandingan 1 : 3. Jika AB = ū dan BC = ⊽, maka AQ = .....a. ⅛ū + ¾⊽
b. ⅛ū - ¾⊽
c. ¾ū + ⅛⊽
d. ¾ū - ⅛⊽
Pembahasan:
Tentukan dahulu vektor PD
PD = PA + AD
= -½ AB + BC
= -½ū + ⊽
Selanjutnya tentukan vektor AQ
AQ = AP + PQ
= ½ū + ¾PD
= ½ū + ¾(-½ū + ⊽)
= ½ū - ³/₈ū + ¾⊽
= ⅛ū + ¾⊽
Jawaban: a
6. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Jika ū = i -2j + 2k, maka nilai |ū| = .....
a. 2
b. 3
c. √2
d. √3
Pembahasan :
maka,
Jawaban : b
7. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Diketahui a = (3,-1,2), b = (2,3,-2) dan c = (3,-3,-1). Jika ū = 2a + b - c , maka panjang ū adalah....
a. 5
b. 5√2
c. 5√3
d. 10
Pembahasan:
ū = 2a + b - c
= 2(3,-1,2) + (2,3,-2) - (3,-3,-1)
= (2.3 + 2 - 3)i + (2(-1)+3-(-3))j + (2.2+(-2)-(-1))k
= 5i + 4j + 3k
|ū|² = 5² + 4² + 3²
= 25 + 16 + 9
= 50
|ū| = √50 = 5√2
Jawaban: b
8. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Diketahui koordinat A (3, -1, 6) dan B (7, 2, -1). Vektor satuan AB adalah.....
a. 4i + 3j -7k
b. -4i -3j + 7k
c. 10i + j + 5k
d. 4i - j - 5k
Pembahasan:
AB = B - A
= (7, 2, -1) - (3, -1, 6)
= (7-3)i + (2-(-1))j + (-1-6)k
= 4i + 3j - 7k
Jawaban: a
9. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Diketahui koordinat A (-1, 2, 6), B (4, 12, 1) dan C (5, 8, -1). Titik P berada antara A dan B sehingga AP : PB = 3 : 2. Vektor satuan PC adalah....
a. 3i + j - 4k
b. 3i - j + 4k
c. 3i - 4k
d. 3i - 4j
Pembahasan:
AP : PB = 3 : 2
Koordinat P = (2A + 3B) : (3+2)
= (2(-1, 2, 6)+ 3(4, 12,1)) : 5
= ((-2,4,12) + (12,36,3)) : 5
= (-2+12, 4+36, 12+3) : 5
= (10, 40, 15) : 5
= (2, 8, 3)
PC = C - P
= (5, 8, -1) - (2, 8, 3)
= (5-2)i + (8-8)j + (-1-3)k
= 3i - 0j - 4k
= 3i - 4k
Jawaban: c
10. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Jika A (a, b, 2), B (1, 3, -1) dan C (3, 7, -7) kolinear, maka nilai a + b = ....
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Pembahasan:
Tiga buah titik misalnya A, B dan C kolinear adalah jika AB = n. BC
AB = B - A
= (1, 3, -1) - (a, b, 2)
= (1-a)i + (3-b)j + (-1-2)k
= (1-a)i + (3-b)j + (-3)k
BC = C - B
= (3, 7, -7) - (1, 3, -1)
= (3-1)i + (7-3)j + (-7-(-1))k
= 2i + 4j + (-6)k
AB = n. BC
(2-a)i + (3-b)j + (-3)k = n [i + 4j + (-6)k]
maka
(2-a) = n.(2)
(3-b) = n. (4)
(-3) = n (-6)
didapat bahwa n = (-3) : (-6) = 1/2
(2-a) = n.(2)
2 - a = ½ . 2
2 - a = 1
a = 1
(3-b) = n. (4)
3 - b = ½ . 4
3 - b = 2
b = 1
maka a + b = 1 + 1 = 2
Jawaban: b
11. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Diketahui |a| = 3 dan |b| = 4. Jika kedua vektor membentuk sudut 60°, maka nilai perkalian a dan b adalah......
a. 2
b. 3
c. 6
d. 8
Pembahasan:
a . b = |a| . |b| . cosinus 𝛂
= 3 . 4 cosinus 60°
= 12 . ½
= 6
Jawaban: c
12. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Diketahui a = -2i + 4j dan b = -2i + j. Nilai sinus sudut yang dibentuk kedua vektor adalah....
a. 3/5
b. 4/5
c. 5/4
d. 5/3
Pembahasan:
|a| = √(-2² + 4²)
= √(4 + 16)
= √20 = 2√5
|b| = √(-2² + 1²)
= √(4 + 1)
= √5
a . b = |a| . |b| . cosinus 𝛂
(-2).(-2) + 4.1 = 2√5. √5 cosinus 𝛂
4 + 4 = 10 . cosinus 𝛂
8 = 10 . cosinus 𝛂
cosinus 𝛂 = 8 : 10
= 4/5
Untuk menentukan nilai sinus, dapat menggunakan identitas trigonometri atau segitiga siku-siku.
Identitas trigonometri
sin²𝛂 + cos²𝛂 = 1
sin²𝛂 + (4/5)² = 1
sin²𝛂 + 16/25 = 1
sin²𝛂 = 1 - 16/25
sin²𝛂 = 9/25
sin 𝛂 = 3/5
Jawaban: b
13. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Sebuah segitiga ABC dengan koordinat A(1, 3, -1), B(3, 5, 0) dan C(-1, 4, 1). Besar <ABC adalah....
a. 30°
b. 45°
c. 90°
d. 135°
Pembahasan:
Vektor yang mengapit <ABC adalah AB dan BC, maka
AB . BC = |AB| . |BC| . cos <ABC
AB = B - A
= (3-1)i + (5-3)j + (0 -(-1))k
= 2i + 2j + k
|AB| = √(2² + 2² + 1²)
= √(4 + 4 + 1)
= √9 = 3
BC = C - B
= (-1-3)i + (4-5)j + (1-0)k
= -4i - j + k
|BC| = = √(-4² + (-1)² + 1²)
= √(16 + 1 + 1)
= √18 = 3√2
AB . BC = |AB| . |BC| . cos <ABC
2.(-4) + 2.(-1) + 1.1 = 3.3√2. cos <ABC
- 8 - 2 + 1 = 9√2 . cos <ABC
-9 = 9√2 . cos <ABC
cos <ABC = -9 : 9√2
= -1/√2 = -½√2
<ABC = 135°
Jawaban: d
14. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Diketahui serta a dan b tegak lurus. Nilai x yang memenuhi adalah....
a. -2
b. -1
c. 1
d. 2
Pembahasan :
a dan b tegak lurus,
maka 𝛂 = 90° dan cosinus 90° = 0
a . b = |a| . |b| . cosinus 𝛂
3.x + (-5).2 + (-2)(-2) = |a| . |b| . 0
3x - 10 + 4 = 0
3x = 10 - 4 = 6
x = 6 : 3 = 2
Jawaban : d
15. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Jika
maka panjang proyeksi vektor
a pada
b adalah.....
a. √3
b. √6
c. 2√3
d. 3√2
Pembahasan :
Jika panjang proyeksi vektor a pada b dimisalkan |c|, maka
|c| = (-1.2) + (3.2) + (2.4)
√(2²+2²+4²)
= -2+6+8
√24
= 12
2√6
=√6
Jawaban: b
16. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Panjang proyeksi vektor a = 2i + pj -4k pada vektor b = 8i + 4j - k adalah 4. Nilai p adalah....
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Pembahasan :
a . b = 2.8 + p.4 + (-4).(-4)
= 16 + 4p + 16
= 32 + 4p
|b| = √(8²+4²+(-1)²)
= √(64+16+1)
= √81 = 9
|c| = a . b
|b|
4 = 32 + 4p
9
9.4 = 32 + 4p
36 - 32 = 4p
4 = 4p
p = 4 : 4 = 1
Jawaban: a
17. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Jika koordinat A (-1,3,1), B (1,3,4) dan C (5,5,4), maka panjang proyeksi vektor AB pada AC adalah....
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Pembahasan :
AB = (1-(-1))i + (3-3)j + (4-1)k
= 2i + 3k
AC = (5-(-1))i + (5-3)j + (4-1)k
= 6i + 2j + 3k
AB . AC = 2.6 + 0.2 + 3.3
= 12 + 9
= 21
|AC| = √(6²+2²+3²)
= √(36+4+9)
= √49 = 7
Panjang proyeksi vektor AB pada AC
= AB . AC
|AC|
= 21
7
= 3
Jawaban: c
18. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Diketahui vektor a = i - √3j + 3k dan b = 3i + √3j + xk. Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 3/2, maka nilai x = .....
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Pembahasan :
a . b = 1.3 + (-√3).√3 + 3.x
= 3 - 3 + 3x
= 3x
|b| = √(3²+√3²+x²)
= √(9+3+x²)
= √(12+x²)
|c| = a . b
|b|
3 = 3x
2 √(12+x²)
kuadratkan kedua ruas
12+x² = 4x²
12 = 4x² - x²
12 = 3x²
x² = 4
x = 2
Jawaban: b
19. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Jika vektor u = 3i + 4j dan vektor v = 2i - 4j, maka proyeksi ortogonal vektor u pada v adalah....
a. i + 2j
b. i - 2j
c. -i + 2j
d. -i - 2j
Pembahasan :
= 6 - 16 = -10
|v|² = 2² + (-4)²
= 4 + 16 = 20
Proyeksi ortogonal vektor u pada v
= -10 . (2i - 4j)
20
= -i + 2j
Jawaban: c
20. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Diketahui tiga buah vektor u = (3,-1,2), v = (1,3,3), dan w = (1,-1,2). Proyeksi ortogonal vektor u + v pada w adalah...
a. (2, -2, 4)b. (-2, 2, 4)
c. (3, -3, 6)
d. (-3, 3, -6)
Pembahasan :
u + v = (3+1, -1+3, 2 + 3)
= (4, 2, 5)
(u + v) . w = 4.1 + 2.(-1) + 5.2
= 4 - 2 + 10 = 12
|w|² = 1² + (-1)² + 2²
= 1 + 1 + 4
= 6
Proyeksi ortogonal vektor u + v pada w
= 12 . (1,-1,2)
6
= (2, -2, 4)
Jawaban: a
21. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Diketahui panjang vektor a, b dan (a + b) berturut-turut adalah 6, 8 dan 2√13. Sudut yang dibentuk oleh vektor a dan b besarnya ....
a. 30°
b. 60°
c. 120°
d. 150°
Pembahasan :
|a + b|² = |a|² + |b|² + 2.|a|.|b|.cos 𝚹
(2√13)² = 6² + 8² + 2.6.8.cos 𝛉
52 = 36 + 64 + 96.cos 𝛉
52 - 36 - 64 = 96.cos 𝛉
- 48 = 96.cos 𝛉
cos 𝛉 = -48/96 = -0,5
𝛉 = 120°
Jawaban: c
22. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Jika |a|, |b| dan |a + b|berturut-turut adalah 6, 2√3 dan 2√21, maka nilai |a - b| adalah....
a. √3
b. 2√3
c. 3√2
d. √2
Pembahasan :
|a + b|² = |a|² + |b|² + 2.|a|.|b|.cos 𝚹
(2√21)² = 6² + (2√3)² + 2.6.2√3.cos 𝛉
84 = 36 + 12 + 24√3.cos 𝛉
84 - 36 - 12 = 24√3.cos 𝛉
36 = 24√3.cos 𝛉
cos 𝛉 = 36/24√3
= ½√3
𝛉 = 30°
|a - b|² = |a|² + |b|² - 2.|a|.|b|.cos 𝚹
|a - b|² = 6² + (2√3)² + 2.6.2√3.cos 30°
=36 + 12 - 24√3.½√3
=48 - 36
= 12
|a - b| = √12 = 2√3
Jawaban: b
23. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Dua buah vektor p dan q membentuk sudut 45°. Jika panjang vektor p = 4 dan q = 5√2, maka nilai |p x q| = .....
a. 10
b. 10√2
c. 20
d. 20√2
Pembahasan :
|p x q| = |p|.| q| . sin 𝛉
= 4 . 5√2 . ½√2
= 20
Jawaban: c
24. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Hasil perkalian silang dari vektor a = 2i - 3k dan vektor b = i + 2j + 4k adalah....
a. 6i - 12j - 4k
b. 6i - 11j + 5k
c. 6i - 11j - 5k
d. 6i - 11j - 4k
Pembahasan :
= (0i-3j+4k) - (0k-6i+8j)
= 6i - 11j - 4k
Jawaban: d
25. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Segitiga ABC mempunyai koordinat A (2, -4, 1), B (3, 1, 5) dan C (3, 3, 2). Luas segitiga tersebut adalah.....
a. 9
b. 10
c. 11
d. 12
Pembahasan :
AB = B - A
= (3-2)i + (1-(-4))j + (5-1)k
= i + 5j + 4k
BC = C - B
= (3-3)i + (3-1)j + (2-5)k
= 2j - 3k
Luas ABC = ½ |AB| . |BC| . sin B
= ½ |AB x BC|
= |(-15i+0j +2k) - (0k+8i-3j)|
= |(-15-8) + (0-(-3)) + (2 -0)|
= |-23+3+2| = 18
Luas ABC = ½ . 18 = 9
Jawaban: a
Demikian soal-soal tentang vektor matematika dengan pembahasannya.
Semoga bermanfaat
Tidak ada komentar
Posting Komentar