GRADIEN DAN PERSAMAAN GARIS LURUS

GRADIEN DAN PERSAMAAN GARIS LURUS Bimbel Jakarta Timur

| Gradien adalah kemiringan suatu garis.

sedangkan Garis Lurus adalah garis yang menghubungkan dua titik. Persamaan garis lurus menunjukkan perbandingan komponen y dan komponen x yang dilalui titik yang dimaksud.

Menentukan gradien garis berdasarkan gambar

Gradien garis dapat dihitung dengan :
komponen perpindahan vertikal (y)    
komponen perpindahan horisontal (x)

Komponen y ke atas bernilai positif, sedangkan jika ke arah bawah bernilai negatif.
Komponen x ke kanan bernilai positif, sedangkan jika ke kiri bernilai negatif.

Perhatikan gambar berikut !

Gambar 1

Gradien garis m=  ke atas 2 satuan    = 2   = 1 
                                ke bawah 4 satuan        4        2

Untuk menghitung gradien garis yang melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2) digunakan rumus berikut:

Rumus

Perhatikan gambar berikut !

Gambar 2

mAB= 3 - 5   = -2  = 2 

             -3 - 4       -7       7

mCD= 4 - (-4)  =  8   =∽ , kesimpulan : garis yang sejajar sumbu y memiliki gradien=∽

                6 - 6         0   

mEF= -3 - 1  =   -4    

             3 - (-4)      7

mGH= -6 - (-6)   =  0    = 0 , kesimpulan : garis yang sejajar sumbu x memiliki gradien=0
               -3 - 5            -8

Menentukan gradien dari persamaan garis

Bentuk persamaan y=mx + c , memiliki gradien=m

Bentuk persamaan ax + by=c, memiliki gradien=-a/b

Contoh :

1. Garis y=½ x, gradiennya=½

2. Garis y=-3x + 5 , gradiennya=-3

3. Garis 5x - 4y=20, gradiennya=-5/-4=5/4

Garis yang saling sejajar dan garis yang saling tegak lurus

Perhatikan gambar berikut !

Gambar 3

Garis k melalui titik (1,0) dan (5,3) sehingga gradiennya 3/4
Garis l melalui titik (4,0) dan (0,-3) sehingga gradiennya 3/4
Garis m melalui titik (4,-4) dan (1,0) sehingga gradiennya -4/3

Dari gambar di atas terlihat bahwa garis k dan garis l saling sejajar dan memiliki gradien sama. Maka kesimpulannya adalah dua garis yang saling sejajar memiliki hubungan m1=m2

Garis m  terlihat kedudukannya tegak lurus terhadap garis k maupun garis l.
Gradien garis k=3/4, sedangkan gradien garis m= -4/3.
3/4 x -4/3=-1
Maka dua garis yang saling tegak lurus memiliki hubungan m1 x m2=-1, atau m2=-1/m1.

Menentukan titik potong sumbu x dan sumbu y suatu garis

Garis y=mx
memiliki gradien m dan melalui titik O (0,0)

Garis y=mx + c
memiliki gradien m dan melalui titik (0,c)

Garis ax + by=c
memiliki gradien -a/b
titik potong sumbu x yaitu jika y=0, maka titik potongnya (-c/a , 0)
titik potong sumbu y yaitu jika x=0, maka titik potongnya (0, -c/b)

Menentukan persamaan garis

Jika diketahui garis bergradien m dan melalui satu titik (x1,y1)

rumus 2

Jika diketahui garis melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2)

rumus 3

Contoh soal : 

1. Gambar yang menunjukkan garis dengan persamaan y=1½ x adalah.....

   

Gambar 4

2. Titik berikut yang terletak pada garis y=⅔ x - 5 adalah....

    a. A (2 , 3)                          c. C (- 5, 0)

    b. B (0 , -5)                         d. D (0 , 5)

3. Gradien garis h pada gambar di bawah adalah....

   

Gambar 5

    a. 2/5                b. -2/5                c. 5/2                     d. -5/2

4. Gradien garis yang melalui titik O dan titik P (12, -9) adalah...

   a. -4/3               b. -3/4                c. 3/4                     d. 4/3

5. Gradien garis yang melalui titik A (-4,7) dan B (2, -2) adalah....

   a. -3/2               b. -2/3                c. 2/3                     d. 3/2

6. Gradien dari garis dengan persamaan 2x + 6y=15 adalah....

   a. -3                  b. -1/3                 c. 1/3                    d. 3

7. Garis AB yang melalui titik A (1,4) dan B (3,p) sejajar dengan garis yang persamaannya y=3x -2. Maka nilai p yang memenuhi adalah....

   a. 10                 b. 8                      c. 2                       d. -2

8. Perhatikan persamaan-persamaan garis berikut !

    I.    x + 2y=5

    II.  2x + y=9

    III. 2x - y=3

    IV. y=-2x + 8

Dua garis yang saling tegak lurus adalah....

   a. I dan II          b. II dan III        c. I dan III           d. II dan IV

9. Persamaan garis yang bergradien -4 dan melalui titik (0,3) adalah....

   a. y=4x + 3                               c. y=3x + 4

   b. y=-4x + 3                             d. y=3x - 4

10. Jika suatu garis memilki persamaan 3x -5y -10=0, maka

      I.  bergradien 3/5

      II. melalui titik (0, -2)

      III.sejajar dengan garis y=5/3 x -5

      IV. tegak lurus dengan garis y=-5/3 x + 4

Pernyataan yang benar adalah....

   a. I dan II          b. I dan III        c. II dan III           d. II dan IV

11. Persamaan garis yang melalui titik (-2,-2) dan (4,1) adalah....
   a. 2x + 3y=6                             c. 2x + y=2
   b. x + y=8                                d. x - 2y=2

12. Persamaan garis yang melalui titik (2, -7) dan tegak lurus garis 4x - 3y + 8=0 adalah...
   a. 3x - 4y=34                            c. 3x + 4y=-22
   b. 4x + 3y=-13                         d. 4x - 3y=21

13. Persamaan garis yang melalui titik (-2,3) dan sejajar garis 2x + 4y=5 adalah....
   a. 2x - y + 4=0                          c. x - 2y=-4
   b. 2x + y=4                               d. x + 2y=4

14. Persamaan garis yang melalui titik (4, -6) dan sejajar dengan garis yang melalui titik (3, -4) dan (6, 2) adalah....
   a. y=½ x - 8                               c. y=2x - 14
   b. y= ½ x + 4                              d. y=2x - 2

15. Tiga titik P (-1,3a), Q (3 , -2) dan R (1 , a) berada dalam satu garis lurus. Tentukan nilai a yang memenuhi !
   a. -2                    b. - 1                 c. 1                    d. 2

Pembahasan

1. Persamaan y=1½ x, melalui titik (0,0) dan bergradien 1½=3/2
     komponen y  = 3 
     komponen x       2

     Jawaban : c

2. Persamaan y=⅔ x - 5 melalui titik (0, -5)
   Jawaban : b

3. Perhatikan gambar !

Gambar 6

     ke atas 2 satuan  = 2 
     ke kiri 5 satuan      -5

     maka gradien garis h=-2/5
     Jawaban : b


4. Melalui titik O (0,0) dan P (12, -9)

rumus 4

= 0 - (-9)   =  9   =-  3 
     0 - 12        -12        4
Jawaban : b


5.  A (-4,7) dan B (2, -2)
   m= 7 - (-2)   = 9   = -3 
           -4 - 2         -6          2
   Jawaban=a

6. Persamaan 2x + 6y=15
    a=2, b=6
   m=-a/b=-2/6=-1/3
   Jawaban=b

7. A (1,4) dan B (3,p) sejajar dengan garis  y=3x -2
   m1=m2
    4 - p   =3
    1 - 3
    4 - p   =3
      -2
   4 - p=3 x -2
   4 - p=-6
      - p=- 6 - 4
      - p=-10
        p=10
   jawaban : a

8. Gradien dari persamaan

    I.    x + 2y=5  adalah  -1/2

    II.  2x + y=9  adalah -2

    III. 2x - y=3   adalah -2/-1=2

    IV. y=-2x + 8 adalah -2

    Dua garis saling tegak lurus jika memenuhi m1 x m2=-1

    Maka yang memenuhi adalah garis I dan III

   Jawaban : c

9. Gradien -4 dan melalui titik (0,3)

   Persamaan garisnya y=-4x + 3

   Jawaban : b

10. Persamaan 3x -5y -10=0

   I. gradien=-3/-5=3/5

   II. jika x=0, maka 

       3(0) -5y - 10=0

          0 - 5y=10

             - 5y=10

                 y=10/-5=-2

          melalui titik (0, -2)

    III. m1 ≠ m2, maka tdak sejajar

    IV. m1=3/5, m2=-5/3

          m1 x m2=-1, maka tegak lurus

    Jawaban : d

11. Melalui titik (-2,-2) dan (4,1)

rumus 5

    y - (-2)   =   x - (-2) 

    1 - (-2)          4 - (-2)

    y + 2     =  x + 2 , (kali silang)

       3                 6

    6y + 12  = 3x + 6

    -3x + 6y  =6 - 12

   -3x + 6y  =-6,  (dibagi -3)

      x - 2y    =2

   Jawaban : d

12.  Melalui titik (2, -7) dan tegak lurus garis 4x - 3y + 8=0

       m1=-4/-3=4/3

       m2=-1/m1=-3/4

       y - y1  =m (x - x1)

       y - (-7)=-3/4 (x - 2)

       y + 7    =-3/4 x + 3/2, (dikali 4)

      4y + 28=-3x + 6

      3x + 4y=6 - 28

      3x + 4y=-22

      Jawaban : c

13. Melalui titik (-2,3) dan sejajar garis 2x + 4y=5 

      m1=-2/4=-1/2

      sejajar maka m1=m2

       y - y1  =m (x - x1)

       y -  3  =-1/2 (x -(-2))

       y - 3  =-1/2 x -1, (dikali 2)

       2y - 6=-x -2

       x + 2y=-2 + 6

       x + 2y=4

       Jawaban : d

    

14. Melalui titik (4, -6) dan sejajar dengan garis yang melalui titik (3, -4) dan (6, 2) 

     m= -4 - 2  = -6   =2

              3 - 6        -3

     y - y1  =m (x - x1)

     y - (-6)=2 (x - 4)

     y + 6    =2x - 8

     y          =2x - 8 - 6

     y          =2x - 14

     Jawaban : c

15. Titik P (-1,3a), Q (3 , -2) dan R (1 , a) dalam satu garis lurus

      Untuk menyelesaikan soal seperti ini pergunakan rumus :

rumus 6

    3a - (-2)   =   -2 - a 

      -1 - 3              3 - 1

    3a + 2     =   -2 - a  , (kali silang)

       -4                  2

     6a + 4  = 8 + 4a

    6a - 4a  = 8 - 4

        2a      = 4

          a      =4/2  =2

    Jawaban : d

 Semoga bermanfaat