Soal Lingkaran Kelas 11

Pada Soal Lingkaran Kelas 11 ini Bimbel Jakarta Timur mempersiapkan soal khusus Lingkaran. Tapi sebelumnya harus mengenal arti Lingkaran dan persamaan. Lingkaran adalah tempat kedudukan atau himpunan semua titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik yang disebut titik pusat. Persamaan lingkaran dalam suatu bidang kartesius ditentukan oleh koordinat titik pusat dan panjang jari-jarinya.

1.  Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan berjari-jari 2√3 adalah....

a. x² + y² = 2√3

b. x² + y² = 6

c. x² + y² = 12

d. x² + y² = 18

Pembahasan:

Persamaan umum lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r

x² + y² = r²

x² + y² = (2√3)²

 x² + y² = 12

Jawaban: c

2. Persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan melalui titik (-3,4) adalah....

a. x² + y² = 5

b. x² + y² = 7

c. x² + y² = 12

d. x² + y² = 25

Pembahasan:

x² + y² = r²

(-3)² + 4² = r²

9 + 16 = r²

r² = 25 

Persamaan lingkaran : x² + y² = 25

Jawaban: d

3. Lingkaran dengan persamaan x² + y² - 72 = 0 mempunyai panjang jari-jari....

a. 6

b. 6√2

c. 8

d. 9

Pembahasan:

x² + y² - 72 = 0

x² + y² = 72 

r² = 72

r = √72 = 6√2

Jawaban: b

4. Persamaan lingkaran yang berpusat di (2,-5) dan berjari-jari 3 adalah....

a. (x+2)² + (y-5)² = 3

b. (x-2)² + (y+5)² = 3

c. (x+2)² + (y-5)² = 9

d. (x -2)² + (y+5)² = 9

Pembahasan:

Persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) dan jari-jari r

(x - a)² + (y - b)² = r²

P(2,-5) dan r = 3

(x - 2)² + (y - (-5))² = 3²

(x - 2)² + (y + 5)² = 9

Jawaban: d

5. Pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan x² + y² + 8x - 12y + 3 = 0 adalah...

a. P(4,-6). r = √3 

b. P(-4,6), r = 3

c. P(-4,6), r = 7

d. P(-8,12), r = 9

Pembahasan:

Bentuk umum persamaan lingkaran

x² + y² + Ax + By + C = 0

P(-½A, -½B)

r² = (-½A)² + (-½B)² - C

A = 8, B = -12, C = 3

Maka P(-½(8), -½(-12)) = P(-4,6)

r² = (-4)² + 6² - 3

r² = 16 + 36 - 3 = 49

r = 7

Jawaban: c

6. Sebuah lingkaran berpusat di (7,-5) dan menyinggung garis x - 3 = 0. Persamaan lingkaran tersebut adalah...

a. x² + y² - 14x + 10y + 58 = 0

b.x² + y² + 14x - 10y + 58 = 0 

c. x² + y² - 14x + 10y + 74 = 0

d. x² + y² + 14x - 10y + 74 = 0

Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut

Panjang jari-jari ditunjukkan dengan jarak titik pusat (7,-5) ke garis x-3 = 0. 

r = 7 - 3 = 4

maka persamaan lingkaran adalah

x² + y² - (2.7)x - (2.(-5))y + (7² + (-5)² - 4²) = 0

x² + y² - 14x + 10y + 58 = 0

Jawaban: a

7. Garis AB merupakan diameter sebuah lingkaran. Jika titik A(-3,-1) dan B(7,5), maka persamaan lingkaran tersebut adalah....

a. x² + y² - 4x - 4y - 30 = 0

b.x² + y² + 4x + 4y - 30 = 0 

c. x² + y² - 4x - 4y + 30 = 0

d. x² + y² + 4x + 4y + 30 = 0

Pembahasan:

Diameternya adalah jarak titik A dan titik B

d² = (x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)²

d² = (-3 - 7)² + (-1 - 5)²

d² = 100 + 36 = 136

d = √136 = 2√38

r = d : 2 = √38

titik pusat (½ (x₁ + x₂), ½(y₁ + y₂))

P(½(-3+7), ½(-1+5))

P(2,2)

maka persamaan lingkaran adalah

x² + y² - (2.2)x - (2.2)y + (2² + 2² - √38²) = 0

x² + y² - 4x - 4y - 30 = 0

Jawaban: a

8. Persamaan lingkaran yang berpusat di (2,3) dan melalui titik (6,-3) adalah....

a. x² + y² - 2x - 3y + 39 = 0

b. x² + y² - 4x - 6y - 39 = 0

c. x² + y² + 2x + 3y + 39 = 0

d. x² + y² + 4x + 6y - 39 = 0

Pembahasan:

Jari-jari adalah jarak titik pusat ke titik yang dilalui

r² = (x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)²

r² = (2 - 6)² + (3 - (-3))²

r² = 16 + 36

r² = 52

maka persamaan lingkaran adalah

x² + y² - (2.2)x - (2.3)y + (2² + 3² - 52) = 0

x² + y² - 4x - 6y - 39 = 0

Jawaban: b

9. Persamaan lingkaran yang berpusat di (3,5) dan menyinggung garis x - 2y = 8 adalah....

a. (x - 3)² + (y - 5)² = 40

b. (x + 3)² + (y + 5)² = 40

c. (x - 3)² + (y - 5)² = 45

d. (x + 3)² + (y + 5)² = 45

Pembahasan:

Maka persamaan lingkaran adalah

(x - 3)² + (y - 5)² = (3√5)²

(x - 3)² + (y - 5)² = 45

Jawaban: c

10. Lingkaran L mempunyai persamaan x² + y² - 10x + 12y + 45 = 0. Titik berikut yang tidak berada di dalam lingkaran adalah...

a. (6,-8)

b. (3,-4)

c. (2,-7)

d. (1,-5) 

Pembahasan: 

a. (6,-8)

➢ x² + y² - 10x + 12y + 45

= 6² + (-8)² - 10(6) + 12(-8) + 45

= 36 + 64 - 60 - 96 + 45 

= - 11

-11 < 0, di dalam lingkaran

b. (3,-4)

➢ x² + y² - 10x + 12y + 45

= 3² + (-4)² - 10(3) + 12(-4) + 45

= 9 + 16 - 30 - 48 + 45 

= - 8

-8 < 0, di dalam lingkaran

c. (2,-7)

➢ x² + y² - 10x + 12y + 45

= 2² + (-7)² - 10(2) + 12(-7) + 45

= 4 + 49 - 20 - 84 + 45 

= - 8

-8 < 0, di dalam lingkaran

d. (1,-5)

➢ x² + y² - 10x + 12y + 45

= 1² + (-5)² - 10(1) + 12(-5) + 45

= 1 + 25 - 10 - 60 + 45 

= 1

1 > 0, di luar lingkaran

Jawaban: d

11. Sebuah lingkaran mempunyai persamaan x² + y² + 3ax - 10y - a = 0. Jika titik (3,5) terletak pada lingkaran, maka pusat lingkaran tersebut adalah...

a. (-1,5)

b. (1,-5)

c. (-3,5)

d. (3,-5)

Pembahasan:

Substitusi titik (3,5) ke persamaan lingkaran

x² + y² + 3ax - 10y - a = 0

3² + 5² + 3a(3) - 10(5) - a = 0

9 + 25 + 9a - 50 - a = 0

9a - a = 50 - 9 - 25

8a = 16

a = 2

Maka persamaan lingkaran

x² + y² + 6x - 10y - 2 = 0

P(-½(6), -½(-10))

P(-3,5)

Jawaban: c

12. Kedudukan garis y = 2x + 7 terhadap lingkaran x² + y² = 36 adalah....

a. garis melalui pusat lingkaran

b. garis memotong lingkaran di dua titik

c. garis menyinggung lingkaran 

d. garis berada di luar lingkaran

Pembahasan:

➢Dari persamaan lingkaran diketahui pusat lingkaran adalah (0,0).

Jika nilai x = 0, nilai y pada garis y = 2x + 7

y = 2(0) + 7 = 7 (bukan 0)

maka garis tidak melalui pusat lingkaran

➢Substitusi Substitusi persamaan garis y = 2x + 7 ke persamaan lingkaran x² + y² = 36

x² + (2x + 7)² = 36

x² + 4x² + 28x + 49 - 36 = 0

5x² + 28x + 13 = 0

Tentukan nilai diskriminan (D = b² - 4.a.c)

D = 28² - 4.5.13

   = 784 - 260 

   = 524

Diskriminan > 0, garis memotong lingkaran di dua titik

Jawaban: b

13. Kedudukan garis 7x + y + 11 = 0 terhadap lingkaran x² + y² - 10x - 8y - 9 = 0 adalah....

a. garis melalui pusat lingkaran

b. garis memotong lingkaran di dua titik

c. garis menyinggung lingkaran 

d. garis berada di luar lingkaran

Pembahasan:

➢ Pusat lingkaran (-½(-10), -½(-8))

P(5,4)

garis 7x + y + 11 = 0

y = -7x - 11, jika x = 5

y = -7(5) - 11 = -46 (bukan 4)

garis tidak melalui pusat

➢ x² + y² - 10x - 8y - 9 = 0

x² + (-7x - 11)² - 10x - 8(-7x-11) - 9 = 0

x² + 49x² + 154x + 121 - 10x + 56x + 88 - 9 = 0

50x² + 200x + 200 = 0 (sederhanakan dengan membagi 50)

x² + 4x + 4 = 0 

D = b² - 4.a.c

D = 4² - 4.1.4

D = 16 - 16

D = 0, garis menyinggung lingkaran

Jawaban: c

14. Sebuah garis menyinggung lingkaran x² + y² = 52 di titik (6,-4). Maka persamaan garis tersebut adalah....

a. 6x - 4y = 52

b. 12x - 8y = 52

c. -6x + 4y = 52

d. -12x + 8y = 52

Pembahasan:

Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = r² dengan titik singgung (x₁,y₁) adalah  x₁x + y₁y = r²

➢ r² = 52, (x₁,y₁) = (6,-4)

6x - 4y = 52

Jawaban: a

15. Persamaan garis yang menyinggung lingkaran (x - 6)² + (y - 1)² = 25 di titik (2,-2) adalah....

a. 2x + 3y = 4

b. 2y + 3x = 4

c. 4x + 3y = 2

d. 3x + 4y = 2

Persamaan garis singgung lingkaran (x - a)² + (y - b)² = r² dengan titik singgung (x₁,y₁) adalah  (x₁ - a)(x - a)+ (y₁ - a)(y - a)= r²

➢(2 - 6)(x - 6) + (-2 -1)(y - 1) = 25

-4x + 24 - 3y + 3 = 25

-4x - 3y = 25 - 24 - 3

-4x - 3y = - 2

➢4x + 3y = 2

Jawaban: c

16. Persamaan garis yang menyinggung lingkaran x² + y² - 4x + 6y - 21 = 0 di titik (-1,2) adalah....

a. 5x + 3y = 13

b. 5y - 3x = 13

c. 5x + 3y = 21

d. 5y - 3x = 21

Pembahasan:

Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0 dengan titik singgung (x₁,y₁) adalah  x₁x + y₁y +½A(x+x₁) + ½B(y+y₁) + C = 0

➢ -1.x + 2.y + (-2)(x-1) + 3.(y+2) - 21 = 0

-x + 2y -2x + 2 + 3y + 6 - 21 = 0

- 3x + 5y - 13 = 0

5y - 3x = 13

Jawaban: b

17. Sebuah garis dengan gradien -³/₄ menyinggung lingkaran x² + y² = 16. Persamaan garis tersebut adalah....

a. 5x + 3y = 5

b. 5y + 3x = 5

c. 4x + 3y =20

d. 3x + 4y = 20

Pembahasan:

Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = r² dengan gradien m 

x² + y² = 16, maka r = 4

m = -³/₄

Jawaban: d

18. Persamaan garis singgung lingkaran (x - 3)² + (y + 7)² = 13 yang sejajar dengan garis 3y - 2x = 18 adalah....

a. 3y - 2x + 4 = 0 dan 3y - 2x + 30 = 0

b. 3y - 2x + 14 = 0 dan 3y - 2x + 40 = 0

c. 3x - 2y + 4 = 0 dan 3x - 2y + 30 = 0

d. 3x - 2y + 14 = 0 dan 3x - 2y + 40 = 0

Pembahasan:

Gradien garis 3y - 2x = 18

m = -(-2/3) = 2/3

Persamaan garis singgung lingkaran (x - a)² + (y - b)² = r² dengan gradien m adalah 

Persamaan garis singgung lingkaran adalah

3y - 2x + 27 - 13 = 0 dan 3y - 2x + 27 + 13 = 0

3y - 2x + 14 = 0 dan 3y - 2x + 40 = 0

Jawaban: b

19. Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 25 yang dapat ditarik dari titik (-1,7) adalah....

a. x - 2y = 25 dn x + 3y = 25

b. 4x - 3y = 25 dan 3x + 4y = 25

c. 3y - 4x = 25 dan 4y + 3y = 25

d. 7x + y = 25 dan 7x - y = 25

Pembahasan:

Persamaan garis yang melalui titik (-1,7) adalah

y - 7 = m(x + 1)

y = mx + m + 7........ (1)

Persamaan garis singgung lingkaran

...... (2)

maka 

m + 7 = ± r √(m²+1)

(m + 7)² = r²(m²+1)

m² +14m + 49 = 25m² + 25

0 = 24m² - 14m - 24

12m² - 7m - 12 = 0

(4m + 3) (3m - 4) = 0

m = -³/₄ dan m = ⁴/₃ 

Persamaan garis singgung dengan m = -³/₄ dan melalui titik (-1,7)

y = -³/₄ x - ³/₄ + 7

4y = -3x - 3 + 28

4y + 3x = 25

Persamaan garis singgung dengan m = ⁴/₃  dan melalui titik (-1,7)

y = ⁴/₃ x + ⁴/₃ + 7

3y = 4x + 4 + 21

3y - 4x = 25

Jawaban: c

20. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran (x - 6)² + (y - 7)² = 18 yang dapat ditarik dari titik (2,5) adalah....

a. x - y = 43

b. y - x = 43

c. y + x = - 43

d. y + x = 43

Pembahasan:

Persamaan garis yang melalui titik (2,5) adalah

y - 5 = m(x - 2)

y = mx - 2m + 5........ (1)

Persamaan garis singgung lingkaran

y - 7 = m(x - 6) ± r√(m²+1)

y = mx - 6m + 7 ± r√(m²+1) ...... (2)

maka

-2m + 5 = - 6m + 7 ± r√(m²+1)

6m - 2m + 5 - 7 = ± r√(m²+1)

4m - 2 = ± r√(m²+1)

(4m - 2)² = r² (m²+1)

16m² - 16m + 4 = 18(m²+1)

16m² - 16m + 4 = 18m²+18

0 = 2m² + 16m + 14

m² + 8m + 7 = 0

(m + 7) (m + 1) = 0

m = -7 dan m = -1

Persamaan garis singgung lingkaran dengan m = -7

y = mx - 6m + 7 ± r√(m²+1)

y = -7x -6(-7) + 7 + 3√2 √(-7²+1)

y = -7x + 49 + 3√2 √50

y + 7x = 149

Persamaan garis singgung lingkaran dengan m = -1

y = mx - 6m + 7 ± r√(m²+1)

y = -1x -6(-1) + 7 + 3√2 √(-1²+1)

y = -x + 6 + 7 + 3√2 √50

y = -x + 13 + 30

y + x = 43

Jawaban: d

21. Lingkaran L : x² + y² + 2x + 6y - 8 = 0 dan lingkaran K : x² + y² - 14x - 10y + 2 = 0 kedudukannya...

a. saling berpotongan di dua titik

b. saling bersinggungan di luar

c. saling bersinggungan di dalam

d. tidak berpotongan ataupun bersinggungan

Pembahasan:

Lingkaran L : x² + y² + 2x + 6y - 8 = 0

P(-½(2),-½(6)) = P(-1,-3)

-8 = (-1)² + (-3)² - r²

-8 = 1 + 9 - r²

r² = 10 + 8 = 18

r₁ = √18 = 3√2

Lingkaran K : x² + y² - 14x - 10y + 2 = 0

P(-½(-14),-½(-10)) = P(7,5)

2 = 7² + 5² - r²

2 = 49 + 25 - r²

r² = 74 - 2 = 72

r₂ = √72 = 6√2

Jarak kedua pusat lingkaran (d)

d² = (-1- 7)² + (-3 - 5)²

d² = 64 + 64 = 128

d = √128 = 8√2 

Karena d < r₁ + r₂, maka kedua lingkaran saling berpotongan di dua titik

Jawaban: a

22. Lingkaran L : x² + y² - 10x + 4y + 4 = 0 dan lingkaran K : x² + y² + 8x - 20y + 16 = 0 kedudukannya...

a. saling berpotongan di dua titik

b. bersinggungan di luar 

c. bersinggungan di dalam 

d. sepusat

Pembahasan:

Lingkaran L : x² + y² - 10x + 4y + 4 = 0

P(-½(-10),-½(4)) = P(5,-2)

4 = (5)² + 2² - r²

4= 25 + 4 - r²

r² = 25 + 4 - 4 = 25

r₁ = √25 = 5

Lingkaran K : x² + y² + 8x - 20y + 16 = 0

P(-½(8),-½(-20)) = P(-4,10)

16 = (-4)² + 10² - r²

16 = 16 + 100 - r²

r² = 16 + 100 - 16 = 100

r₂ = √100 = 10

Jarak kedua pusat lingkaran (d)

d² = (5 - (-4))² + (-2 - 10)²

d² = 81 + 144 = 225

d = √225 = 15 

Karena d = r₁ + r₂, maka kedua lingkaran saling bersinggungan di luar

Jawaban: b

23. Salah satu titik potong lingkaran x² + y² = 25 dan lingkaran x² + y² - 14x - 8y + 45 = 0 adalah....

a. (0,5)

b. (0,7)

c. (5,0)

d. (7,0)

Pembahasan:

Substitusi persamaan lingkaran pertama ke lingkaran ke dua

x² + y² = 25

y² = 25 - x² 

y = √(25 - x²)

x² + y² - 14x - 8y + 45 = 0

x² + 25 - x² - 14x - 8√(25 - x²) + 45 = 0

70 - 14x = 8√(25 - x²)

(70 - 14x)² = 64(25 - x²)

4900 - 1960x + 196x² = 1600 - 64x²

260x² - 1960x + 3300 = 0 (sederhanakan)

13x² - 98x + 165 = 0

(13x - 33) (x - 5) = 0

x₁ = 33/13 dan x₂ = 5

y₂ = √(25 - x₂²)

y₂ = √(25 - 5²) = 0

Salah satu titik potong (x₂, y₂) = (5,0)

Jawaban: c

24. Panjang garis singgung persekutuan luar lingkaran x² + y² = 32 dan x² + y² - 8x + 12y  - 20 = 0 adalah...

a. 2√11

b. 4√11

c. 11√2

d. 22

Pembahasan:

Lingkaran I

x² + y² = 32

P(0,0), r₁ = √32 = 4√2

Lingkaran II

x² + y² - 8x + 12y  - 20 = 0

P(-½(-8),-½(12)) = P(4,-6)

-20 = 4² + (-6)² - r²

-20 = 16 + 36 - r²

r² = 16 + 36 + 20 = 72

r₂ = √72 = 6√2

Jarak kedua pusat lingkaran (d)

d² = (0 - 4)² + (0 - (-6))²

d² = 16 + 36 = 52

d = √52

GSPL²  = d² - (r₂ - r₁)²

GSPL²  = √52² - (6√2 - 4√2)²

GSPL²  = 52 - 8 = 44

GSPL  = √44 = 2√11

Jawaban: a

25. Panjang garis singgung persekutuan dalam  lingkaran (x + 3)² + (y - 2)² = 49 dan x² + y² - 18x - 14y  + 105 = 0 adalah...

a. 3

b. 5

c. 7

d. 9

Pembahasan:

Lingkaran I

(x + 3)² + (y - 2)² = 49

P(-3,2), r₁ = √49 = 7

Lingkaran II

x² + y² - 18x - 14y  + 105 = 0

P(-½(-18),-½(-14)) = P(9,7)

105 = 9² + 7² - r²

105 = 81 + 49 - r²

r² = 81 + 49 - 105 = 25

r₂ = √25 = 5

Jarak kedua pusat lingkaran (d)

d² = (9 - (-3))² + (7 - 2)²

d² = 144 + 25 = 169

d = √169 = 13

GSPD²  = d² - (r₂ + r₁)²

GSPD²  = 13² - (5 + 7)²

GSPD²  = 169 - 144

GSPD  = √25 = 5

Jawaban: b